[ Pobierz całość w formacie PDF ]

lad
’
chy ego x(0) = A, x2 (0) = Å gdy p2 0, m > 0 ma rozwiazanie postaci
’
qA+Å 2
p
k
x(t, A, Å) = Ce-qt sin(Ét + Õ), gdzie q = , É = - q2, C = A2 + ,
m m É
A
Õ = arccos . Rozwiazanie zerowe jest, co oczywiste, lokalnie asymptotycznie
C ’
stabilne.
Twierdzenie 24. Rozwiazanie x (t, x0) = p (t) równania x2 = f (t, x) jest sta-
’
bilne (asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiazanie y (t) = 0
’
równania y2 = g (t, y) := f (t, y + p (t)) - f (t, p (t)) jest stabilne (asymptotycznie
stabilne).
Dowód. Niech p (t) := x (t, x0) stabilne rozwiazanie równania x2 = f (t, x).
’
Funkcja y (t) := x (t) - p (t) spe równanie y2 (t) = f (t, x (t)) - f (t, p (t)) =
lnia
f (t, y (t) + p (t)) - f (t, p (t)) =: g (t, y (t)). Funkcje f i g sa’ tej samej klasy
regularności.
Inaczej. Niech p (t) = x (t, x0), x (t) = x (t, y0), p2 = f(t, p), x2 = f(t, x).
Tak wiec x2 - p2 = f(t, x) - f(t, p). Zdefiniujmy z := x - p. Mamy z2 =
’
f(t, z + p) - f(t, p) =: g(t, z) czyli z2 = g(t, z). Skoro
y0 - x0
zatem
z0
co jest równoważne
z0 - 0
Przyk 8. Rozważmy uk równań różniczkowych
lad lad
x2 = (x1 - 1) (x2 - 1)
1
x2 = x1x2 - 2
2
50
7.2. Twierdzenie Lapunowa
które można zapisać jako jedno równanie w postaci wektorowej
(x1 - 1) (x2 - 1)
x2 = f(x) :=
x1x2 - 2
x1(t) 1
gdzie x(t) = . Latwo zauważyć, że funkcje x(t) = , x(t) =
x2(t) 2
2
sa’ rozwiazaniami przyk ladowego równania (jego po lożeniami równowagi).
’
1
Stabilność pierwszego z tych rozwiazań jest równoważna stabilności rozwiazania
’ ’
zerowego równania
1 1 y1 (y2 + 1)
y2 = f y + - f =
2 2 y1y2 + 2y1 + y2
a stabilność drugiego z nich stabilności rozwiazania zerowego równania
’
2 2 (y1 + 1) y2
y2 = f y + - f =
1 1 y1y2 + y1 + 2y2
Uwaga 5. Stabilność nie implikuje przyciagania i odwrotnie.
’
Przyk 9. Rozważmy równanie x2 2 + x = 0 z warunkiem poczatkowym Cau-
lad
’
chy ego x (0) = x0, x2 (0) = 0. Jego rozwiazaniem jest funkcja x (t) = x0 cos t.
’
Rozwiazanie zerowe jest wiec stabilne, ale nie ma w
lasności przyciagania.
’ ’ ’
2
x1 x2
Przyk 10. Rozwiazaniem uk = z warunkiem poczatkowym
lad ladu
’ ’
x2 -x1
x1 x0 x1 x0 cos t
(0) = jest funkcja (t) = . Tak wiec zerowe
’
x2 0 x2 -x0 sin t
rozwiazanie jest stabilne, ale nie ma w lasności przyciagania.
’ ’
7.2. Twierdzenie Lapunowa
Twierdzenie 25. (Lapunowa) Niech dany bedzie skalarny uk równań różniczkowych
lad
’
2
xj = fj (t, x) (j = 1, . . . , n)
gdzie t " [t0, +"), x = x (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) " U " topRn, f = (f1, . . . , fn) "
C1 ([t0, +") × U, Rn). Za lóżmy,że
 f (t, 0, . . . , 0) = 0
"fj
 ajk := (t, 0, . . . , 0) " R j, k = 1, . . . , n
"xk
 det (ajk - »´jk)j,k=1,...,n = 0 =Ò! Re »
51
Rozdzia 7. Stabilność rozwiazań równań różniczkowych
l
’
n
fj
 " M : U -’! R, że lim M (x) = 0 oraz (t, x) - ajkxk d"
x-’!0
k=1
M (x) x dla t e" t0, x " U, j = 1, . . . , n.
Wtedy rozwiazanie zerowe x (·, 0) = 0 powyższego uk jest lokalnie asympto-
ladu
’
tycznie stabilne tzn. y0
l
"
r>0
rozwiazania x (·, y0) jest równy [t0, +") } oraz : y0
" "
’
t-’!+"
µ>0 ´>0
x (t, y0) = 0 i x (t, y0)
Wniosek 4. Niech dany bedzie skalarny uk równań różniczkowych
lad
’
2
xj = fj (x) (j = 1, . . . , n)
gdzie x = x (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) " U " topRn, f = (f1, . . . , fn) " C1 (U, Rn).
Za óżmy, że
l
 f (0, . . . , 0) = 0
"fj
 ajk := (0, . . . , 0) " R j, k = 1, . . . , n
"xk
 det (ajk - »´jk)j,k=1,...,n = 0 =Ò! Re »
Wtedy rozwiazanie zerowe x (·, 0) = 0 powyższego uk ladu jest lokalnie asymp-
’
totycznie stabilne.
Przyk 11. Rozważmy pierwsze równanie z przyk 8 tj.
lad ladu
y1 (y2 + 1)
y2 = g (y) :=
y1y2 + 2y1 + y2
y2 + 1 y1
"gi
Latwo zauważyć, że g(0) = 0 natomiast (0) = =
"xj
y2 + 2 y1 + 1
|y1=0, y2=0
1 0
. Macierz ta ma wartość w » = 1 o krotnoÅ›ci k = 2, a zatem
lasna’
2 1
rozwiazanie zerowe powyższego równania nie jest lokalnie asymptotycznie stabilne
’
i nie jest stabilne.
Wniosek 5. Rozważmy równanie skalarne x2 = f (x). Jeśli f (0) = 0 oraz
f2 (0)
’
stabilne.
Wniosek 6. Rozważamy uk równań różniczkowych liniowych x2 = Ax. Jeśli
lad
wszystkie wartoÅ›ci w macierzy A maja’ ujemne czeÅ›ci rzeczywiste, to rozwiazanie
lasne
’ ’
zerowe rozważanego uk jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
ladu
52
7.3. Problem Routha Hurwitza
Twierdzenie 26. Rozwiazanie zerowe uk równań różniczkowych liniowych
ladu
’
x2 = Ax jest stabilne, gdy Re » d" 0 dla każdej wartoÅ›ci w » macierzy A, a
lasnej
w przypadku Re » = 0, krotność tej wartoÅ›ci w jest równa 1.
lasnej
7.3. Problem Routha Hurwitza
Niech bedzie dany wielomian W o wspó
lczynnikach rzeczywistych. Podać
’
takie warunki na jego wspó ly
lczynniki, aby pierwiastki wielomianu W leża w
lewej pó laszczyz
nie p
lp laszczyzny zespolonej.
Niech W (») = »n+a1»n-1+· · ·+an-1»+an = 0, gdzie aj " R (j = 1, . . . , n).
Twierdzenie 27. (Warunek konieczny) ai > 0 . Jeżeli n d" 2, to ten
"
i"{1,...,n}
warunek jest warunkiem wystarczajacym.
’
Twierdzenie 28. (Warunek Routha Huwitza) Warunkiem koniecznym i wy-
starczajacym na to, aby wszystkie pierwiastki wielomianu W mia ly ujemne cześci
’ ’
rzeczywiste jest, aby wszystkie minory g ówne macierzy Hurwitza
l
ëø öø
a1 1 0 0 0 0 · · · 0 0 0
ìø ÷ø
a3 a2 a1 1 0 0 0 0 0
ìø ÷ø
ìø ÷ø
a5 a4 a3 a2 a1 1 0 0 0
ìø ÷ø
ìø ÷ø
. .
.
. . .
ìø ÷ø
.
. .
ìø ÷ø
íø
0 0 0 0 0 0 an an-1 an-2 øø
0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 an
by ly dodatnie.
Twierdzenie 29. JeÅ›li W (») = a0»n + a1»n-1 + · · · + an-1» + an = 0 jest wielo-
mianem Hurwitza tzn. wszystkie jego pierwiastki maja’ ujemne czeÅ›ci rzeczywiste,
’
1
to V (») := »nW = an»n + an-1»n-1 + . . . + a1» + a0 jest także wielomianem
»
Hurwitza.
Przyk 12. Wyznaczyć obszar asymptotycznej stabilności dla uk
lad ladu
ñø
dx
= -x + ±y
òø
dt
dy
= ²x - y + ±z
dt
óø
dz
= ²y - z,
dt
gdzie ±, ² sa’ parametrami rzeczywistymi.
53
Rozdzia 7. Stabilność rozwiazań równań różniczkowych
l
’
W rozważanym przypadku wielomian charakterystyczny jest równy
-1 - » ± 0
W (») = ² -1 - » ± = »3 + 3»2 + (3 - 2±²)» + (1 - 2±²).
0 ² -1 - »
Macierz Hurwitza dla tego wielomianu ma postać
ëø öø
3 1 0
íø øø
1 - 2±² 3 - 2±² 3 .
0 0 1 - 2±²
Jej minory g ówne sa’ równe: ³%1 = 3, ³%2 = 8 - 4±², ³%3 = (8 - 4±²)(1 - 2±²).
l
1
Jak latwo zauważyć sa’ one wszystkie dodatnie dla ±²
2
7.4. Punkty osobliwe równania różniczkowego zupe
lnego
Rozważmy równanie
P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0 (7.1) [ Pobierz całość w formacie PDF ]