[ Pobierz całość w formacie PDF ]

pr du warunek:
"Á
+ "j = "µ jµ = 0
"t
Powró my do uzyskanej poprzednio całki działania odpowiedzialnej za oddziaływanie
zewn trznego pola z cz stk relatywistyczn :
Z2
e
Smf = - dxµ .
µ
+"A
c
Z1
Zast pmy w niej ładunek cz stki e całk z rozkładu g sto ci ładunku:
e ’!
+"ÁdV
V
Wówczas całka działania przechodzi w:
Z2 t2
1 1 dxµ 1 dxµ
Smf = -
µ µ µ
+"ÁdV+"A dxµ = - c +"ÁdV+"A dt dt = - c +"A Á dt dVdt =
c
V Z1 V t1 &!
1
= - jµd&!
µ
+"A
c
&!
Uzyskali my wi c działanie odpowiedzialne za oddziaływanie ci głego rozkładu g sto ci
Å‚adunku i pr du danego czterowektorem jµ z zewn trznym polem elektromagnetycznym
zadanym przez czteropotencjaÅ‚ Aµ .
63
Pole elektromagnetyczne wywołane zadanym rozkładem ładunków i pr dów.
Pole elektryczne i magnetyczne, o którym mówili my było traktowane jako pole zewn trzne,
w którym znajduje si cz stka. Odwró my zagadnienie i przeanalizujmy sytuacj odwrotn .
Potraktujmy cz stk jako ródło pola. Umo liwi to nam przej cie do opisu układów cz stek w
polach przez nie wytworzonych. Wtedy pola nie b d musiały by traktowane jako
zewn trzne.
Działanie pola elektromagnetycznego, druga para równa Maxwella.
Musimy utworzy całk działania pól swobodnych Sf . Powinno by ono niezmiennikiem
transformacji Lorentza kwadratowym w funkcji wektorów pola (równania pola maj by
liniowe). Poniewa czteropotencjaÅ‚ Aµ nie jest jednoznaczn funkcj pola nie nadaje si do
tego celu (ze wzgl du na nieliniowo ). Mo na natomiast utworzy niezmiennik transformacji
Lorentza spełniaj cy warunek jednoznaczno ci z tensora pola elektromagnetycznego.
Przyjmijmy:
µ0
Sf = - Fµ½d&!
µ½
+"F
4
µ0 oznacza tzw. przenikalno dielektryczn pró ni. Współczynnik zostaÅ‚ dobrany z
wyprzedzeniem tak, by prowadził do poprawnych równa pola.
Całka działania dyskutowanego układu przyjmuje posta :
1 µ0 1 cµ0
ëø
S = Smf +Sf = - jµd&!- Fµ½d&! = - jµ + Fµ½Fµ½ öød&!
µ µ½ µ
+"A +"F +"ìøA 4 ÷ø
c 4 c
íø øø
damy znikania wariacji całki działania
cµ0 cµ0
1 ëø 1 ëø öø
´S = - jµ´Aµ + ´(Fµ½Fµ½)öød&! = - jµ´Aµ + Fµ½´Fµ½ d&!
÷ø ÷ø
+"ìø +"ìø
c 4 c 2
íø øø íø øø
Poniewa :
"Aµ
"A½
Fµ½ = -
"xµ "x½
ëø "A½ "Aµ "´A½ "´Aµ
öø
´Fµ½ = ´ìø - ÷ø = -
ìø
"xµ "x½ ÷ø "xµ "x½
íø øø
ëø "´Aµ öø
ëø
1 cµ0 "´A½ öø÷ø
´S = - jµ´Aµ + Fµ½ìø - ÷ø÷ød&!
+"ìø ìø
ìø
c 2 "xµ "x½ ÷øøø
íø øø
íø
w wyra eniu tym korzystaj c z antysymetrii tensora pola elektrycznego i magnetycznego
mo emy pozby si jednego wyrazu:
"´Aµ
1 ëø öø
´S = - jµ´Aµ - cµ0Fµ½ ÷ød&!
+"ìø
ìø
c "x½ ÷ø
íø øø
Korzystaj c z twierdzenia Gaussa w przestrzeni czterowymiarowej:
½
½
+"" W½d&! = +"W dý
&! "&!
i przyjmuj c za W:
W½ = Fµ½´Aµ
64
uzyskujemy:
µ½
(Fµ½´Aµ)d&! = ´Aµdý = 0
½
+"" +"F
&! "&!
Wyraz po prawej stronie znika ze wzgl du na znikanie wariacji na granicy obszaru &! . Po
lewej stronie wykonujemy ró niczkowanie pod całk :
(Fµ½"½´Aµ + ´Aµ"½Fµ½)d&! = 0
+"
&!
sk d:
µ½
µ µ
+"F "½´Aµd&! = -+"´A "½Fµ½d&! = +"´A "½F½µd&!
&! &! &!
Wykorzystuj c ten zwi zek w wyra eniu na wariacj całki działania otrzymujemy:
1 "
´S = - ìø - cµ0 F½µ öø´Aµd&!
+"ëø jµ "x½ ÷ø
c
íø øø
Przyrównanie do zera wariacji całki działania dla dowolnej wariacji czteropotencjału daje
"
jµ - cµ0 F½µ = 0
"x½
czyli:
" 1
F½µ = jµ
"x½ cµ0
Otrzymali my 4 równania pola w zapisie tensorowym. Mo emy je rozszyfrowa wstawiaj c
jawn posta elementów tensora F. W kontrawariantnej wersji:
µ½
(F )=(gµ½)(Fµ½)(gµ½)=
1 0 0 0 ëø öø 1 0 0 0
ëø öøìø 0 Ex Ey Ez ÷øëø öø
ìø ÷ø ìø ÷ø
0 -1 0 0
ìø-E 0 -cBz cBy ÷ø -1 0 0
÷ø x ìø0 ÷ø
=ìø =
ìø-E cBz 0 -cBx ÷ø
ìø0 0 -1 0 ÷ø ìø ÷ø
0 -1 0
y
ìø
ìø ÷ø ÷ø
ìø0 0 0 -1÷øìø-Ez -cBy cBx 0 ÷øìø0 0 0 -1÷ø
÷øìø0
íø øø íø øø
íø øø
ëø -Ex -Ey -Ez
öø
ìø ÷ø
ìøE 0 -cBz cBy ÷ø
=ìø x
÷ø
ìøEy cBz 0 -cBx ÷ø
ìøEz -cBy cBx 0 ÷ø
íø øø
" 1 1
Fµ0 = j0 Ô! "E = Á
"xµ cµ0 µ0
" 1 1 "Ex "Bz "By 1
Fµ1 = j1 Ô! - + c - c = jx
"xµ cµ0 c "t "y "z cµ0
"Ey "Bz "Bx 1
" 1 1
Fµ2 = j2 Ô! - - c + c = jy
"xµ cµ0 c "t "x "z cµ0
" 1 1 "Ez "By "Bx 1
Fµ3 = j3 Ô! - + c - c = jz
"xµ cµ0 c "t "x "y cµ0
Co mo na przepisa jako:
65
µ0"E = Á oraz - µ0E + c2µ0" × B = j
a po wykorzystaniu znanych zwi zków:
1
c2 = , µ0E = D, µ0H = B
µ0µ0
dostajemy:
"D = Á
" × H = D + j
S to kolejne dwa równania Maxwella.
Równania Maxwella w postaci ró niczkowej.
Uzyskali my wła nie dwa równania daj ce zwi zki pomi dzy polami magnetycznym i
elektrycznym a ich ródłami g sto ci ładunku i pr du. Wraz z równaniami uzyskanymi
poprzednio tworz one komplet równa Maxwella stanowi cych baz dla całej
elektrodynamiki. Zestawmy je razem:
1. " × E = -B
2. " Å" B = 0
3. " Å" D = Á
4. " × H = D + j
Do równa Maxwella dorzuci nale y równanie ci gło ci, które pojawiło si po
wprowadzeniu g sto ci Å‚adunku i pr du:
"Á
5. divj + = 0
"t
Kowariantny (jawnie relatywistyczny) zapis równa Maxwella.
Równania Maxwella mo na równie zapisa w jawnie relatywistycznej postaci. Kowariantny
zapis dwóch ostatnich równa Maxwella ju znamy:
1
"½F½µ = jµ
cµ0
Dwa pierwsze równania mo na zapisa podobnie:
"½G½µ = 0 ,
gdzie G nosi nazw tensora dualnego, a jego składowe wyra aj si podobnie jak w
przypadku tensora F przez składowe pola elektrycznego i magnetycznego:
0 cBx cBy cBz
ëø öø
ìø ÷ø
ìø-cB 0 -Ez Ey ÷ø
(Gµ½)=ìø x
÷ø
ìø-cBy Ez 0 -Ex ÷ø
ìø-cBz -Ey Ex 0 ÷ø
íø øø
Po podstawieniu do poprzedniego wzoru otrzymujemy:
"
Gµ0 = 0 Ô! "B = 0
"xµ
oraz
66
" "Bx "Ez "Ey [ Pobierz całość w formacie PDF ]