[ Pobierz całość w formacie PDF ]
pr du warunek:
"�
+ "j = "� j� = 0
"t
Powró my do uzyskanej poprzednio całki działania odpowiedzialnej za oddziaływanie
zewn trznego pola z cz stk relatywistyczn :
Z2
e
Smf = - dx� .
�
+"A
c
Z1
Zast pmy w niej ładunek cz stki e całk z rozkładu g sto ci ładunku:
e �!
+"�dV
V
Wówczas całka działania przechodzi w:
Z2 t2
1 1 dx� 1 dx�
Smf = -
� � �
+"�dV+"A dx� = - c +"�dV+"A dt dt = - c +"A � dt dVdt =
c
V Z1 V t1 &!
1
= - j�d&!
�
+"A
c
&!
Uzyskali my wi c działanie odpowiedzialne za oddziaływanie ci głego rozkładu g sto ci
ładunku i pr du danego czterowektorem j� z zewn trznym polem elektromagnetycznym
zadanym przez czteropotencjał A� .
63
Pole elektromagnetyczne wywołane zadanym rozkładem ładunków i pr dów.
Pole elektryczne i magnetyczne, o którym mówili my było traktowane jako pole zewn trzne,
w którym znajduje si cz stka. Odwró my zagadnienie i przeanalizujmy sytuacj odwrotn .
Potraktujmy cz stk jako ródło pola. Umo liwi to nam przej cie do opisu układów cz stek w
polach przez nie wytworzonych. Wtedy pola nie b d musiały by traktowane jako
zewn trzne.
Działanie pola elektromagnetycznego, druga para równa Maxwella.
Musimy utworzy całk działania pól swobodnych Sf . Powinno by ono niezmiennikiem
transformacji Lorentza kwadratowym w funkcji wektorów pola (równania pola maj by
liniowe). Poniewa czteropotencjał A� nie jest jednoznaczn funkcj pola nie nadaje si do
tego celu (ze wzgl du na nieliniowo ). Mo na natomiast utworzy niezmiennik transformacji
Lorentza spełniaj cy warunek jednoznaczno ci z tensora pola elektromagnetycznego.
Przyjmijmy:
�0
Sf = - F��d&!
��
+"F
4
�0 oznacza tzw. przenikalno dielektryczn pró ni. Współczynnik został dobrany z
wyprzedzeniem tak, by prowadził do poprawnych równa pola.
Całka działania dyskutowanego układu przyjmuje posta :
1 �0 1 c�0
��
S = Smf +Sf = - j�d&!- F��d&! = - j� + F��F�� ��d&!
� �� �
+"A +"F +"��A 4 ��
c 4 c
�� ��
damy znikania wariacji całki działania
c�0 c�0
1 �� 1 �� ��
�S = - j��A� + �(F��F��)��d&! = - j��A� + F���F�� d&!
�� ��
+"�� +"��
c 4 c 2
�� �� �� ��
Poniewa :
"A�
"A�
F�� = -
"x� "x�
�� "A� "A� "�A� "�A�
��
�F�� = ��� - �� = -
��
"x� "x� �� "x� "x�
�� ��
�� "�A� ��
��
1 c�0 "�A� ����
�S = - j��A� + F���� - ����d&!
+"�� ��
��
c 2 "x� "x� ����
�� ��
��
w wyra eniu tym korzystaj c z antysymetrii tensora pola elektrycznego i magnetycznego
mo emy pozby si jednego wyrazu:
"�A�
1 �� ��
�S = - j��A� - c�0F�� ��d&!
+"��
��
c "x� ��
�� ��
Korzystaj c z twierdzenia Gaussa w przestrzeni czterowymiarowej:
�
�
+"" W�d&! = +"W d��
&! "&!
i przyjmuj c za W:
W� = F���A�
64
uzyskujemy:
��
(F���A�)d&! = �A�d�� = 0
�
+"" +"F
&! "&!
Wyraz po prawej stronie znika ze wzgl du na znikanie wariacji na granicy obszaru &! . Po
lewej stronie wykonujemy ró niczkowanie pod całk :
(F��"��A� + �A�"�F��)d&! = 0
+"
&!
sk d:
��
� �
+"F "��A�d&! = -+"�A "�F��d&! = +"�A "�F��d&!
&! &! &!
Wykorzystuj c ten zwi zek w wyra eniu na wariacj całki działania otrzymujemy:
1 "
�S = - �� - c�0 F�� ���A�d&!
+"�� j� "x� ��
c
�� ��
Przyrównanie do zera wariacji całki działania dla dowolnej wariacji czteropotencjału daje
"
j� - c�0 F�� = 0
"x�
czyli:
" 1
F�� = j�
"x� c�0
Otrzymali my 4 równania pola w zapisie tensorowym. Mo emy je rozszyfrowa wstawiaj c
jawn posta elementów tensora F. W kontrawariantnej wersji:
��
(F )=(g��)(F��)(g��)=
1 0 0 0 �� �� 1 0 0 0
�� ���� 0 Ex Ey Ez ���� ��
�� �� �� ��
0 -1 0 0
��-E 0 -cBz cBy �� -1 0 0
�� x ��0 ��
=�� =
��-E cBz 0 -cBx ��
��0 0 -1 0 �� �� ��
0 -1 0
y
��
�� �� ��
��0 0 0 -1����-Ez -cBy cBx 0 ����0 0 0 -1��
����0
�� �� �� ��
�� ��
�� -Ex -Ey -Ez
��
�� ��
��E 0 -cBz cBy ��
=�� x
��
��Ey cBz 0 -cBx ��
��Ez -cBy cBx 0 ��
�� ��
" 1 1
F�0 = j0 �! "E = �
"x� c�0 �0
" 1 1 "Ex "Bz "By 1
F�1 = j1 �! - + c - c = jx
"x� c�0 c "t "y "z c�0
"Ey "Bz "Bx 1
" 1 1
F�2 = j2 �! - - c + c = jy
"x� c�0 c "t "x "z c�0
" 1 1 "Ez "By "Bx 1
F�3 = j3 �! - + c - c = jz
"x� c�0 c "t "x "y c�0
Co mo na przepisa jako:
65
�0"E = � oraz - �0E + c2�0" � B = j
a po wykorzystaniu znanych zwi zków:
1
c2 = , �0E = D, �0H = B
�0�0
dostajemy:
"D = �
" � H = D + j
S to kolejne dwa równania Maxwella.
Równania Maxwella w postaci ró niczkowej.
Uzyskali my wła nie dwa równania daj ce zwi zki pomi dzy polami magnetycznym i
elektrycznym a ich ródłami g sto ci ładunku i pr du. Wraz z równaniami uzyskanymi
poprzednio tworz one komplet równa Maxwella stanowi cych baz dla całej
elektrodynamiki. Zestawmy je razem:
1. " � E = -B
2. " �" B = 0
3. " �" D = �
4. " � H = D + j
Do równa Maxwella dorzuci nale y równanie ci gło ci, które pojawiło si po
wprowadzeniu g sto ci ładunku i pr du:
"�
5. divj + = 0
"t
Kowariantny (jawnie relatywistyczny) zapis równa Maxwella.
Równania Maxwella mo na równie zapisa w jawnie relatywistycznej postaci. Kowariantny
zapis dwóch ostatnich równa Maxwella ju znamy:
1
"�F�� = j�
c�0
Dwa pierwsze równania mo na zapisa podobnie:
"�G�� = 0 ,
gdzie G nosi nazw tensora dualnego, a jego składowe wyra aj si podobnie jak w
przypadku tensora F przez składowe pola elektrycznego i magnetycznego:
0 cBx cBy cBz
�� ��
�� ��
��-cB 0 -Ez Ey ��
(G��)=�� x
��
��-cBy Ez 0 -Ex ��
��-cBz -Ey Ex 0 ��
�� ��
Po podstawieniu do poprzedniego wzoru otrzymujemy:
"
G�0 = 0 �! "B = 0
"x�
oraz
66
" "Bx "Ez "Ey
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
